Математика
Занятие 1
Занятие посвящено козам. Они прожорливые и съедают все, до чего могут дотянуться. Поэтому коз держат на привязи.
1. Нарисуйте участок луга, который выест коза, привязанная веревкой к одиноко стоящему на лугу колышку.
2. Математик прогуливался по лугу, держа козу на поводке длины 1м. Путь математика имел вид
а) отрезка длины 3
б) прямоугольника размером 3 м х 5 м.
Нарисуйте участок, на котором могла побывать при этом коза, не обрывая поводка.
3. Удержите козу на участке такой формы: (привяжите ее с помощью веревок и колышков так, чтобы она могла есть траву лишь внутри этого участка - рис.1).
4. На лугу между двумя колышками натянем веревку. У второй веревки один конец привяжем к ошейнику козы, а на другом сделаем петлю, скользящую по первой веревке. Какой участок выест коза?
5. Удержите козу
а) в полукруге;
б) в квадрате;
в) в данном прямоугольнике.
6. Удержите козу
а) в треугольнике;
б) в равностороннем шестиугольнике.
7. Удержите козу при помощи собак
а) в кольце
б) в фигуре, изображенной на рисунке 2.
8. Удержите не привязанную козу при помощи собак в фигуре, изображенной на рисунке 3.
Занятие 2
1. Найти площади многоугольников, изображенных на рисунке, если площадь одной клетки равна 1:
2. Нарисуйте квадрат с вершинами в узлах сетки, площадь которого
а) 4, б) 13, в) 26, г) 40.
3. Нарисуйте прямоугольник с вершинами в узлах сетки, стороны которого не равны 2 и 5, а площадь равна 10.
4. Может ли площадь многоугольника с вершинами в узлах сетки быть равна:
а) 3, б) 1/2, в) 10/3, г) 15/3, д) 1/10
Если может, привести пример фигуры; если не может объяснить почему?
5. Доказательство теоремы Пифагора, придуманное математиком Ариабхате, жившего в 476-550гг.
Занятие 2
1. Из 9 монет одна - фальшивая, она тяжелее настоящих. Найти ее за два взвешивания.
2. Из 27 монет одна - фальшивая, она легче настоящих. Можно ли найти ее за:
а) 3 взвешивания
б) 2 взвешивания.
3. Есть 6 монет, из которых две - фальшивые (легче настоящих). Найти их за 3 взвешивания.
4. Имеется 101 монета. Из них 100 одинаковых настоящих монет и одна фальшивая, отличающаяся по весу. Необходимо определить, легче или тяжелее фальшивая монета, чем настоящая. Как это сделать при помощи двух взвешиваний на чашечных весах без гирь?
5. Из 101 монеты 50 - фальшивые, которые на 1 грамм легче настоящих. За одно взвешивание на весах с делениями определить, является ли данная монета фальшивой.
6. Есть 5 монет, из которых три настоящих, две фальшивых, одна из которых тяжелее настоящей, а другая легче. За три взвешивания на чашечных весах определите обе фальшивые монеты.
7. Из 103 монет две - фальшивые (фальшивые монеты одинаковы по весу). За три взвешивания определить, тяжелее они настоящих или легче.
8. Из 16 монет одна - фальшивая, причем неизвестно, легче она настоящих или тяжелее. Найти ее за 4 взвешивания.
9. Из 12 монет одна - фальшивая, причем неизвестно, легче она настоящих или тяжелее. Найти ее за 3 взвешивания.
10. Есть 6 мешков с монетами. В некоторых из них монеты фальшивые (на 1 грамм легче настоящих). За одно взвешивание на весах с делениями определить, в каких мешках монеты фальшивые, если известно, что:
а) Фальшивые монеты только в одном мешке.
б) Фальшивые монеты не во всех мешках.
11. Имеется 6 мешков, в каждом из которых лежит много гирек. Известно, что в каждом мешке гирьки одинаковые и весят целое число граммов от 1 до 10. За какое наименьшее число взвешиваний на точных цифровых весах можно определить вес гирьки каждого типа?
Занятие 4
1. Через точку внутри треугольника проведены прямые, параллельные трем сторонам треугольника. Эти прямые разбивают исходный треугольник на три треугольника и три параллелограмма. Произведение площадей полученных треугольников равно а. Найти произведение площадей параллелограммов.
2. Через точку внутри треугольника проведены три прямые, параллельные сторонам; они делят треугольник на шесть частей, три из которых – параллелограммы. Площади этих параллелограммов равны П1, П2, П3. Найдите площадь треугольника.
3. Точка, произвольно взятая внутри равностороннего треугольника, соединена со всеми вершинами. Кроме того, из нее опущены перпендикуляры на все стороны треугольника. Докажите, что сумма площадей закрашенных треугольников равна сумме площадей незакрашенных треугольников (рис.4).
4. Две прямые делят каждую из двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника на три равные части. Докажите, что между этими прямыми заключена треть площади четырехугольника.
5. Все стороны выпуклого треугольника площади 1 разделены на три равные части. Найдите площадь «креста», показанного на рис.5.
6. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. K, L, M, N – середины сторон BC, CD, DA и АВ (рис.6). Доказать, что
1) KLMN – параллелограмм;
2) SKLMN = ? SABCD ;
3) S1 + S3 = S2 + S4
7. Каждая сторона выпуклого четырехугольника разделена на четыре равные части. Соответствующие точки деления на противоположных сторонах соединены друг с другом, и полученные клетки раскрашены в шахматном порядке в белый и черный цвета. Докажите, что сумма площадей белых клеток равна сумме площадей черных клеток (рис.7).
Домашнее задание:
1. Нарисуйте 5 прямоугольников с вершинами в узлах сетки, площади которых равны 24.
2. На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник с вершинами в узлах клеток. Пусть А – число узлов внутри него, а С – число узлов на границе. Найти площадь прямоугольника.
3. Решить задачу 1 для прямоугольного треугольника, с вершинами в узлах клеток, две стороны которого проходят по линии сетки.
4. Решите задачу 1 для прямоугольного треугольника, с вершинами в узлах клеток, одна сторона которого проходит по линии сетки.
5. Семья ночью пошла по мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама - за 2, малыш - за 5, бабушка – за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут? (Если переходят двое, то они идут с меньшей из их скоростей. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя. Носить друг друга на руках нельзя. Орать друг на друга нельзя.)
